在FRM一級考試中，Black-Scholes期權定價模型是較為重要的考點，考生在備考中一定要熟練掌握。在計算題中，BS定價公式是需要熟記的。

期權定價模型由布萊克與斯科爾斯在20世紀70年代提出(Black-Scholes-Merton Option Pricing Model)。該模型認為，只有股價的當前值與未來的預測有關，變量過去的歷史與演變方式與未來的預測不相關。【資料下載】點擊下載融躍教育FRM考試公示表

期權定價模型基于對沖證券組合的思想。投資者可建立期權與其標的股票的組合來保證確定報酬。在均衡時，此確定報酬必須得到無風險利率。期權的這一定價思想與無套利定價的思想是一致的。

B-S-M定價公式

C=S·N(d1)-X·exp(-r·T)·N(d2)

其中:

d1=[ln(S/X)+(r+σ^2/2)T]/(σ√T)

d2=d1-σ·√T

C—期權初始合理價格

X—期權執行價格

S—所交易金融資產現價

T—期權有效期

r—連續復利計無風險利率

σ—股票連續復利(對數)回報率的年度波動率(標準差)

N(d1)，N(d2)—正態分布變量的累積概率分布函數，在此應當說明兩點：

第一，該模型中無風險利率必須是連續復利形式。一個簡單的或不連續的無風險利率(設為r0)一般是一年計息一次，而r要求為連續復利利率。r0必須轉化為r方能代入上式計算。兩者換算關系為：r=LN(1+r0)或r0=exp(r)-1例如r0=0.06，則r=LN(1+0.06)=0.0583，即100以583%的連續復利投資第二年將獲106，該結果與直接用r0=0.06計算的答案一致。

第二，期權有效期T的相對數表示，即期權有效天數與一年365天的比值。如果期權有效期為100天，則T=100/365=0.274。

B-S-M模型的推導

B-S-M模型的推導

B-S-M模型的推導是由看漲期權入手的，對于一項看漲期權，其到期的期值是:

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E[G]=E[max(ST-L，O)]

其中，

E[G]—看漲期權到期期望值

ST—到期所交易金融資產的市場價值

L—期權交割(實施)價

到期有兩種可能情況:

1、如果ST>L，則期權實施以進帳(In-the-money)生效，且mAx(ST-L，O)=ST-L

2、如果ST<L，則期權所有人放棄購買權力，期權以出帳(Out-of-the-money)失效，且有:

max(ST-L，O)=0

從而：

E[CT]=P×(E[ST|ST>L)-L)+(1-P)×O=P×(E[ST|ST>L]-L)

其中：P—(ST>L)的概率E[ST|ST>L]—既定(ST>L)下ST的期望值將E[G]按有效期無風險連續復利rT貼現，得期權初始合理價格:

C=P×E-rT×(E[ST|ST>L]-L)(*)這樣期權定價轉化為確定P和E[ST|ST>L]。

首先，對收益進行定義。與利率一致，收益為金融資產期權交割日市場價格(ST)與現價(S)比值的對數值，即收益=1NSTS。由假設1收益服從對數正態分布，即1NSTS～N(μT，σT2)，所以E[1N(STS]=μT，STS～EN(μT，σT2)可以證明，相對價格期望值大于EμT，為:E[STS]=EμT+σT22=EμT+σ2T2=EγT從而，μT=T(γ-σ22)，且有σT=σT

其次，求(ST>L)的概率P，也即求收益大于(LS)的概率。已知正態分布有性質：Pr06[ζ>χ]=1-N(χ-μσ)其中:ζ—正態分布隨機變量χ—關鍵值μ—ζ的期望值σ—ζ的標準差。所以：P=Pr06[ST>1]=Pr06[1NSTS]>1NLS]=1N-1NLS2)TTNC4由對稱性:1-N(D)=N(-D)P=N1NSL+(γ-σ22)TσTArS第三，求既定ST>L下ST的期望值。因為E[ST|ST]>L]處于正態分布的L到∞范圍，所以，E[ST|ST]>=S·EγT·N(D1)N(D2)

其中：D1=LNSL+(γ+σ22)TσTD2=LNSL+(γ-σ22)TσT=D1-σT

最后，將P、E[ST|ST]>L]代入(*)式整理得B-S定價模型:C=S·N(D1)-L·E-γT·N(D2)